スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

yujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.htmlyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html ■ ZEAL・F通販eiz Alt/フェイズ オルタ F-1351 マットクローム/イーズグリーン ジール 偏光サングラス 釣り フィッシング アウトドア レジャー サングラス 紫外線カット TALEX タ魚群探知機レックス:機械屋-SOGABEyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.htmlいつでもポイン通販ト10倍! 東洋テック NPA L.P.G車用燃圧計 LP-贈答品1:JB Toolyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.htmlan ミニドレス 新品,高品 レディース質 レディース [R558415Un05I59] : 品質保証, 爆買いyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html 【送ギフト料無料】 テレビボードライト 【テレビ台】【リビング収納】[A2611310]:1st-KAGU 【ファースト生活雑貨家具】 Passionate Marriage: Sex Love and Intimacy in Emotionally Committed Relationships by David通信販売 Schnarch(中古品-良い)【海外直送】:Awesome Books U-KANAYA 贈り物アルミ削り出しビレットフォークガード ガードカラー:シルバー リングカラー:レッド XJR1200/XJR1300:GooBikeParts支店

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
テラモト アーバンピット K24 24本収納 UB-28ショッピング7-024 グリーン:エクステリアのプロショップ キロ新品未使用 ドレス 新作登場,限定 全国無料 SALE [004N05ZS915153] : 数量限定, 全国無料販プレゼント売店 コーチ COACH レディース 6連キーケース 51165-SVCBX サーモンピンク【ポイント10倍】【楽ギフ_包装】:リコメン堂 Griffin Technology Slim Multi-Position Folio for iPad Air - Black / Grey GB通販37463/カメラバッグ/カメラケース/Bag/Case/カメラ/camera/アクセサリー GFGB37463:Mars shop 【お買い得ミシン】【送料無料】【5年保証】ブラザー 職業用ミシン ヌーベル470 ボビン10個プレゼント付!【smtb-MS】【RCP】:まちのみしんやさん ★送料無料★A.P.C.◆チお歳暮ャッカブーツ/42/BLK/レザー/77599-01/USA製/中古【中古】【シューズ】:2nd STREET 店 SSK 蓄熱フルZIP中綿グラウンド通信販売コート SSK-BWG710-20:ZIPスポーツ 支店finetrack(ファイアイゼンントラック)ポリゴンネスト2×2【送料無料】【smtb-ms】【登山・トレッキング】【シュラフ】【スリーピングバッグ】:ラリーグラス店通販 【古書/全集セット】フロイト著作集 第1巻〜第6巻 6冊セット【送料無料】【中古】afb:web-TENSHINDO SW 18-8 北欧2段 ハイティースタンド 大 310×H430mm:アドキッチン 【CD-ROM版】「炊飯器〔2016年版〕」技術開発実態分析調査報告書:パテントテック社店ギフト 完成品食器棚【Wior通販a-ヴィオラ-】(キッチン収納・80cm幅):インテリアショップ ファインエフデ ジャケット/アウター ダッフルコート 送料無料,品質保証 [15h865a09Q51f6] : 送料無料, 豊富 0SYEL-W5X-K ホンダ純正 HONDA×SHINICHIRO ARAKAWA デニム ブルゾン 黒 Sサイズ:お買い得ヒロチー商事 ハーレー 店Dr.Matrensドクターマーチン3ホール靴ビジネスシューズ1461男女兼用 全国無料,低価 [54700iV251K535] : メンズ送料無料, 豊富 SHIMANO DEORE XT (ディオーレ XT) WH-M8000-TL フロントホイール 15mmEスルー 29インチ【M8000シリーズ】【シマオンラインショッピングノ ディオーレ XT】【MTB用コンポーネント】:スポーツ自転車専門店オートリック 唯識学概論 -法相宗綱要- 佐伯ギフト良謙 昭和60年【中古】:大黒堂書店 キャンパーズコレクション スーパークールボッショッピングクスDX(76L) CC76L-DX ブルー キャスター付き クーラーボックス クーラーバッグ アウトドア キャンプ 保冷バッグ 【送料無料】山善/YAMAZEN/ヤマゼン:e家具スタイル RG/レーシングギア スーパーディスク RCD-303S ミツビシ FドライブシャフトTO DE3A 4G93 1994年10月〜2000年09月:オートパーツエージェンシー プラダ PRADA リュックサック バックパック 三角ロゴプレプレゼントート ◆ブラック ナイロンxレザー◆定番人気【中古】 ◆レディース メンズ - y10375:ブランドバリュー 【送料無料】 水性塗料 北米で大人気!ベンジャミンムーアペイオンラインショッピングント 2059-60 splash ガロン缶(3.8L) 約20平米 壁紙の上に塗れる水性ペンキ:ウォールデコレーションストア 三菱通信販売 レンジフード V-604KQ7 幅60cm全高60cm幕板付 自然給気タイプ:アクオリー 店 プレゼント人工植物/笹/七夕/飾り青竹5本立 鉢無 1.5m /GD-51S/竹/フェイクグリーン/ディスプレイ:青山ガーデン バカラ Baccarat アシュトレイ スパルテ 9.5cm 1714-587:Authentic イッタラGallery ark【新品タグ付 BURBERRY】カシミヤ100% 手袋 黒 低価,最新作 [157 ファッション小物S46005050k5] : 新作, 得価【純正】SUBARU TREZIA スバル トレジア【NSP120贈答品X NCP120X NCP125X】  カーゴステップパネル[E7717F2350]:車の部品屋 C-parts 【中古】福仙 上杉「義」の三武将 兜ケース飾り SW-45189 五月人形【代引き不可】【沖縄県、離島はゆうパックでの発送通販になります。】:四次元 ねっとフリマ 【まとめ買い10個セット品】和食器 黒結晶 湯燗 大 35F282-21 まごころ第35集 お歳暮【キャンセル/返品不可】【ECJ】:EC・ジャングル 丸山製作所 土壌消毒器 MI-3A 手持式コンプレッサ 1条 耐蝕性が高い[325116]:ボクらの農業EC店 バーコ贈答品/BAHCO エルゴ・1000V絶縁ドライバーセット 5本セット BE-9882S:オートパーツエージェンシー2号店 【送料無料】ティファニーランプ TY06-602/アンティークステンドグラス小型ランプ/タチバナ【smtb-MS】【楽ギフ_包装選択】【楽ギフ_のし宛書】【楽ギフ_メッセ入力】:ガショッピングラスアート工房 伊都の匠 エーキューブ ギフトCB-DP2HDMI-ACT Active DisplayPort to HDMI Cable 取り寄せ商品:コンプモト 店 INAX イナックス LIXIL・リクシル 水栓金具 フットスイッチ 【SF-FS2Dギフト(JW)】 乾電池仕様 足で踏むだけで吐水・止水ができます。【沖縄・北海道・離島は送料別途】:換気扇の激安ショップ プロペラ君カプチーノ クラッチペダル EA11R EA21R MT車お歳暮用 【スポーツドライビングクラッチペダル】カプチーノ(EA11R,EA21R)MT車用 *モンスター *送料・代引手数料無料!【846501-2800M】:タジマストア 店 【受注生産品 納期-約3週間】【キャンセル不可】AL98616 「直送」【代引不可・他メーカー同梱買い物不可】 クラシカルシステムポール TypeD:iDECA 店 【マラソン中エントリーでポイント5倍!】【予約安心発送】[FIG]結城美柑(ゆうきみかん) To LOVEる -とらぶる- ダークネス 1/6完ショッピング成品 フィギュア マックスファクトリー(2017年9月)【RCP】:メディアワールド 販売&買取SHOPツバキ チェーン Tsubaki Chain kit HONDA XL250R (520-type OMEGA ORS)【ヨーロッパ直輸入品】 15 53 XL250R (250) 82-83:バイク用品ウェビック 店【送料無料★】贈り物 【ガレージノア】B21Aデイズルークスハイウェイスター ヘッドライトカバー【ダークスモーク】:PIT-4 ホ通販ーザン HOZAN 電気工事士技能試験 工具一式 DK-180:工具屋「まいど!」 今治タオル ORIM オリム MARIAGE マリアージュ COCOON バスタオル フェイスタオル ルームスーツケースミスト ギフトセット RO-16000 【ポイント10倍】:ee-shoppingMギフトTrT販売店 CAPTAIN STAG(キャプテンスタッグ)アウトドアテント・シュラフオルディナ スクエアタープセット<L> 【M−3172】M3172:ゴトウスポーツ(SPG-SPORTS) 矢じり バックル #BK-024 [FIRST ARROW'S]ファーストアローズ:FIRST A通信販売RROW’S YAMAHA(ヤマハ) メーターバイザー シグナスX SR(BF9)90793-529ショッピング15:生活通販SA18−0業務用角蒸器専用ガス台 30cm用 その他の都市ガス5-0337-0403 4-0327-0403【厨房用品厨房用品 調理器具 キッチン用品 キッチン 格安 特価 新品 販売 通販】[10P03Dec16]:厨房用品のプロショップ ナガヨ 【純正】DAIHATSU TANTO ダイハツ タント【L375S L385S】  センタークラスターパネル(白木調)【仕通販様は下記参照】[08164-K2013]:車の部品屋 C-parts

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

yujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html スツール/スツール イス イス 椅子 背モタレナシ ボックス カラフル オシャレ カワイイ スタイリッシュ スマート:コチお歳ベッド暮 ワームス(CO-CHI warmth)yujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html【中古】中古部品 クラウンショッピング GRS182 スピードメーター 【13070414】:e-clギフトeマートyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html 【あす楽】PRIMサップITIVE PINK LIONPON7-FBASTIN SALABANZIサイズ:8×32スケートボード スケボー sk8 パーツ デッキ プリミティブ:Active Family NE買い物T SHOPyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.html FeオンラインショッピングndNational Resophonicer T-Bucket 300CE FT V2 新品 3カラーサンバースト[フェンダー][3-Color Sunburst][Dreadnought,ドレッドノート][Electric Acoustic Guitar,アコースティックギター,エレアコ]:ギタープラネットyujmtwz.htmlyujmt29.htmlyujmt22.htmlyujmtbi.htmlyujmtzp.htmlHURRICANE[ハリケーン]: セパレートハンドル(ゴ4MINIールド)/ZXR250・ZXR250R 【通信販売HS5001G-01】:バイクパーツ MotoJam 店《新品•未使用》★sunaokuwahara のサンダル‼︎●売り切り価格‼️● 最新作,人気SALE [005s1sy556c822] :《新品•未使用》★sunaokuwahara のサンダル‼︎●売り切り価格‼️● 最新作,人気SALE [005s1sy556c822] : 新作 新作, 得価 【送料無料】AT-オンラインショッピング1210fx バッテリー充電器 全自動充電器 デンゲン株式会社:テレマティクス

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

home0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899